Urodził się 14 września 1927 r. w Grand Rapids w USA. Jego ojciec pochodził z
Białorusi, a matka z rodziny polskich emigrantów. Przyjął święcenia kapłańskie 5 czerwca 1954 r. w Marquette, w stanie Michigan. W następnym roku został sekretarzem bp. Thomasa Noa, z którym pracował do 1962 r. W tym czasie (1957-59) studiował również prawo kanoniczne na Papieskim Uniwersytecie Laterańskim w Rzymie. 20 lipca 1971 r. został mianowany biskupem Gaylord. W latach 1972-77 pełnił funkcję przewodniczącego Episkopatu VI Regionu Stanów Zjednoczonych (Michigan i Ohio). Jan Pawł II mianował go arcybiskupem Detroit 28 marca 1981 r., a 28 czerwca 1988 r. wyniósł go do godności kardynalskiej.
Od 22 stycznia 1990 r. kard. E. Szoka pracował w Kurii Rzymskiej: najpierw jako przewodniczący Prefektury Ekonomicznych Spraw Stolicy Apostolskiej, a od 15 października 1997 r. jako przewodniczący Papieskiej Komisji ds. Państwa Watykańskiego. 22 lutego 2001 r., w związku z wejściem w życie Ustawy Zasadniczej Państwa Watykańskiego, Papież Jan Paweł II mianował go także przewodniczącym Gubernatoratu.